add file Numerical-Differentiation-2

week09/Numerical-Differentiation-2.ipynb

+{
+ "cells": [
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "# Numerical Differentiation\n",
+    "การหาผลต่าง \n",
+    "\n",
+    "> กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ จงคำนวณหา $\\frac{d^nf}{dx^n}$ เมื่อกำหนดค่า $x$ ให้\n",
+    "\n",
+    "โดยที่ $f(x)$ กำหนดได้สองแบบคือ\n",
+    "\n",
+    "* กำหนดเป็นฟังก์ชันสำหรับ การคำนวณหาโดยตรง $y = f(x)$ \n",
+    "* กำหนดความสัมพันธ์เป็นแบบชุดข้อมูลมาให้ $(x_i,y_i), i=0,1,..,n$\n",
+    "\n",
+    "## Taylor Series of $f(x)$ at $a$ is\n",
+    "$$\n",
+    "\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "ตัวอย่าง Taylor series สำหรับ $e^x$ ที่ $a = 0$ คือ\n",
+    "$$\n",
+    "\\frac{x^0}{0!} + \\frac{x^1}{1!} + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + ... \\\\\n",
+    "1 + x + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + ... \\\\\n",
+    "\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{x^n}{n!}\n",
+    "$$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "### Backward/Forward Taylor Series on $f(x)$\n",
+    "$$\n",
+    "f(x+h) = f(x) + hf^1(x) + \\frac{h^2}{2!}f^2(x) + \\frac{h^3}{3!}f^3(x) + \\frac{h^4}{4!}f^4(x) + ... \\to (a) \\\\\n",
+    "f(x-h) = f(x) - hf^1(x) + \\frac{h^2}{2!}f^2(x) - \\frac{h^3}{3!}f^3(x) + \\frac{h^4}{4!}f^4(x) - ... \\to (b) \\\\\n",
+    "f(x+2h) = f(x) + 2hf^1(x) + \\frac{(2h)^2}{2!}f^2(x) + \\frac{(2h)^3}{3!}f^3(x) + \\frac{(2h)^4}{4!}f^4(x) + ... \\to (c) \\\\\n",
+    "f(x-2h) = f(x) - 2hf^1(x) + \\frac{(2h)^2}{2!}f^2(x) - \\frac{(2h)^3}{3!}f^3(x) + \\frac{(2h)^4}{4!}f^4(x) - ... \\to (d) \\\\\n",
+    "$$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "### ผลต่างของสมการ $(a), (b), (c), (d)$\n",
+    "$ (a) + (b) $\n",
+    "$$\n",
+    "f(x+h)+f(x-h) = 2f(x) + h^2f^2(x) + \\frac{h^4}{12}f^4(x) + ... \\to (e) \\\\\n",
+    "$$\n",
+    "$ (a) - (b) $\n",
+    "$$\n",
+    "f(x+h)-f(x-h) = 2hf^1(x) + \\frac{h^3}{3}f^3(x) + ... \\to (f) \\\\\n",
+    "$$\n",
+    "$ (c) + (d) $\n",
+    "$$\n",
+    "f(x+2h)+f(x-2h) = 2f(x) + 4h^2f^2(x) + \\frac{4h^4}{3}f^4(x) + ... \\to (g) \\\\\n",
+    "$$\n",
+    "$ (c) - (d) $\n",
+    "$$\n",
+    "f(x+2h)-f(x-2h) = 4hf^1(x) + \\frac{8h^3}{3}f^3(x) + ... \\to (h) \\\\\n",
+    "$$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## Finite Difference Approximations\n",
+    "\n",
+    "### Central Difference Approximations: CDA\n",
+    "\n",
+    "#### First CDA\n",
+    "$$\n",
+    "f^1(x) = \\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} - \\frac{h^2}{3!}f^3(x) - \\frac{h^4}{5!}f^5(x) - \\frac{h^6}{7!}f^7(x) -...\n",
+    "$$\n",
+    "หรือ\n",
+    "$$\n",
+    "f'(x) = \\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} + O(h^2)\n",
+    "$$\n",
+    "สูตร\n",
+    "$$\n",
+    "f'(x) \\approx \\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \\to (c)\n",
+    "$$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## Exercise\n",
+    "1. จงคำนวณหาค่าประมาณของ $f^1(x)$, (First CDA) พร้อมค่าผิดพลาด $O(h^2)$ ของฟังก์ชันต่อไปนี้ เมื่อกำหนด $h = 0.001, x=1$\n",
+    "  * $f(x) = e^{-x}$\n",
+    "  * $f(x) = sin(x)e^{-cos(x)}$\n",
+    "\n",
+    "2. จงเขียนฟังก์ชันเพื่อแสดงตารางค่าความสัมพันธ์ระหว่าง $h$ กับ ค่า First CDA ของฟังก์ชันต่างๆในข้อ 1. เมื่อกำหนด $x = 1$\n",
+    "  และ $h = [0.64, 0.32, 0.16, 0.08, 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.0025, 0.00125]$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "metadata": {
+    "collapsed": true
+   },
+   "outputs": [],
+   "source": []
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### Second CDA\n",
+    "$$\n",
+    "f^2(x) = \\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} + O(h^2)\n",
+    "$$\n",
+    "สูตร\n",
+    "$$\n",
+    "f^2(x) \\approx \\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} \\to (d)\n",
+    "$$\n",
+    "\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## Exercise\n",
+    "1. จงคำนวณหาค่าประมาณของ $f^2(x)$, (Second CDA) พร้อมค่าผิดพลาด $O(h^2)$ ของฟังก์ชันต่อไปนี้ เมื่อกำหนด $h = 0.001, x=1$\n",
+    "  * $f(x) = e^{-x}$\n",
+    "  * $f(x) = sin(x)e^{-cos(x)}$\n",
+    "\n",
+    "2. จงเขียนฟังก์ชันเพื่อแสดงตารางค่าความสัมพันธ์ระหว่าง $h$ กับ ค่า Second CDA ของฟังก์ชันต่างๆในข้อ 1. เมื่อกำหนด $x = 1$\n",
+    "  และ $h = [0.64, 0.32, 0.16, 0.08, 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.0025, 0.00125]$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### Third CDA\n",
+    "$$\n",
+    "f^3(x) = \\frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + 2f(x-h) + -f(x-2h)}{2h^3} + O(h^2) \n",
+    "$$\n",
+    "สูตร\n",
+    "$$\n",
+    "f^3(x) \\approx \\frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + 2f(x-h) + -f(x-2h)}{2h^3}  \\to (e)\n",
+    "$$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## Exercise\n",
+    "1. จงคำนวณหาค่าประมาณของ $f^1(x)$, (Third CDA) พร้อมค่าผิดพลาด $O(h^2)$ ของฟังก์ชันต่อไปนี้ เมื่อกำหนด $h = 0.001, x=1$\n",
+    "  * $f(x) = e^{-x}$\n",
+    "  * $f(x) = sin(x)e^{-cos(x)}$\n",
+    "\n",
+    "2. จงเขียนฟังก์ชันเพื่อแสดงตารางค่าความสัมพันธ์ระหว่าง $h$ กับ ค่า Third CDA ของฟังก์ชันต่างๆในข้อ 1. เมื่อกำหนด $x = 1$\n",
+    "  และ $h = [0.64, 0.32, 0.16, 0.08, 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.0025, 0.00125]$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### Fourth CDA\n",
+    "$$\n",
+    "f^4(x) = \\frac{f(x+2h) - 4f(x+h) + 6f(x) - 4f(x-h) + f(x-2h)}{h^4} + O(h^2)\n",
+    "$$\n",
+    "สูตร\n",
+    "$$\n",
+    "f^4(x) \\approx \\frac{f(x+2h) - 4f(x+h) + 6f(x) - 4f(x-h) + f(x-2h)}{h^4} \\to (f)\n",
+    "$$"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## Exercise\n",
+    "1. จงคำนวณหาค่าประมาณของ $f^1(x)$, (Fourth CDA) พร้อมค่าผิดพลาด $O(h^2)$ ของฟังก์ชันต่อไปนี้ เมื่อกำหนด $h = 0.001, x=1$\n",
+    "  * $f(x) = e^{-x}$\n",
+    "  * $f(x) = sin(x)e^{-cos(x)}$\n",
+    "\n",
+    "2. จงเขียนฟังก์ชันเพื่อแสดงตารางค่าความสัมพันธ์ระหว่าง $h$ กับ ค่า Fourth CDA ของฟังก์ชันต่างๆในข้อ 1. เมื่อกำหนด $x = 1$\n",
+    "  และ $h = [0.64, 0.32, 0.16, 0.08, 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.0025, 0.00125]$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "# Example\n",
+    "\n",
+    "1. กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = e^{-x}$ จงคำนวณหา $f^2(x)$ ที่ $x = 1, h = 0.01$ โดยใช้ second CDA\n",
+    ">  จากสูตร $(d)$ เราสามารถประมาณค่า $f^2(x)$ ได้ โดยใช้สมการ\n",
+    "$$\n",
+    "f^2(x) = \\frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^2}\n",
+    "$$\n",
+    "ดังนั้น คำตอบคือ\n",
+    "$$\n",
+    "f^2(1) = \\frac{f(1-0.01) - 2\\times f(1) + f(1+0.01)}{0.01^2} \\\\\n",
+    "f^2(1) = \\frac{f(0.98) - 2\\times f(1) + f(1.01)}{0.0001} \\\\\n",
+    "f^2(1) = \\frac{e^{-0.98} - 2\\times e^{-1} + e^{-1.01}}{0.0001} \\\\\n",
+    "$$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "# Exercise\n",
+    "\n",
+    "1. กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = x^3e^x$ จงคำนวณหา $f^2(x)$ ที่ $x = 1, h = 0.01$ โดยใช้ second CDA\n",
+    "\n",
+    "2. กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = x^2e^{-x}$ จงคำนวณหา $f^3(x)$ ที่ $x = 1, h = 0.01$ โดยใช้ third CDA\n",
+    "\n",
+    "3. กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = \\frac{e^{-x}}{x^3}$ จงคำนวณหา $f^4(x)$ ที่ $x = 1, h = 0.01$ โดยใช้ fourth CDA\n",
+    "\n",
+    "4. กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = \\frac{e^{-x}}{x^3}$ จงเขียนโปรแกรมเพื่อคำนวณหา $f^4(x)$ ที่ $x = 1, h = 0.01$ โดยใช้ fourth CDA"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "# สรุป Central Difference Approximations\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "(1) \\to f'(x) = \\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} + O(h^2) \\\\\n",
+    "(2) \\to f^2(x) = \\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} + O(h^2) \\\\\n",
+    "(3) \\to f^3(x) = \\frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + 2f(x-h) + -f(x-2h)}{2h^3} + O(h^2)  \\\\\n",
+    "(4) \\to f^4(x) = \\frac{f(x+2h) - 4f(x+h) + 6f(x) - 4f(x-h) + f(x-2h)}{h^4} + O(h^2) \\\\\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "หรือถ้าไม่คิด $O(h^2)$\n",
+    "\n",
+    "$(1) \\to f'(x) = \\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$\n",
+    "\n",
+    "$(2) \\to f^2(x) = \\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$\n",
+    "\n",
+    "$(3) \\to f^3(x) = \\frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + 2f(x-h) + -f(x-2h)}{2h^3}$\n",
+    "\n",
+    "$(4) \\to f^4(x) = \\frac{f(x+2h) - 4f(x+h) + 6f(x) - 4f(x-h) + f(x-2h)}{h^4}$\n",
+    "\n",
+    "ปรับใหม่ \n",
+    "\n",
+    "$(1) \\to {2h}f'(x) = f(x+h)-f(x-h)$\n",
+    "\n",
+    "$(2) \\to {h^2}f^2(x) = f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)$\n",
+    "\n",
+    "$(3) \\to {2h^3}f^3(x) = f(x+2h) - 2f(x+h) + 2f(x-h) + -f(x-2h)$\n",
+    "\n",
+    "$(4) \\to {h^4}f^4(x) = f(x+2h) - 4f(x+h) + 6f(x) - 4f(x-h) + f(x-2h)$\n",
+    "\n",
+    "แล้วเขียนออกมาเป็น ตาราง coefficient ได้เป็น\n",
+    "\n",
+    "# ตารางค่าสัมประสิทธิของ CDA $O(h^2$\n",
+    "\n",
+    "|  สมการด้านซ้ายมือ      |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ | ค่าสัมประสิทธิ์ของ |   ค่าสัมประสิทธิ์ของ |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ  |\n",
+    "|---------------------|----------------|---------------|-----------------|----------------|-----------------|\n",
+    "|                     |   $f(x-2h)$    |    $f(x-h)$   |     $f(x)$      |   $f(x+h)$     |    $f(x+2h)$    |\n",
+    "|$2hf^1(x)$           |                |       -1      |       0         |         1      |                 |\n",
+    "|$h^2f^2(x)$          |                |        1      |       -2        |         1      |                 |\n",
+    "|$2h^3f^3(x)$         |       -1       |        2      |       0         |        -2      |         1       |\n",
+    "|$h^4f^4(x)$          |        1       |       -4      |       6         |        -4      |         1       |"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "ในกรณีที่ ให้มาเป็นจุด หรือไม่สามารถประเมินโดยใช้ค่า $+h, -h$ ได้ จะใช้\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "# ตารางค่าสัมประสิทธิของ Forward Finite Difference Approximation (FDA) $O(h^2$\n",
+    "\n",
+    "|  สมการด้านซ้ายมือ |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ | ค่าสัมประสิทธิ์ของ |   ค่าสัมประสิทธิ์ของ |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ  |\n",
+    "|----------------|----------------|----------------|---------------|-----------------|----------------|-----------------|\n",
+    "|                |    $f(x)$      |   $f(x+h)$     |    $f(x+2h)$  |     $f(x+3h)$   |   $f(x+4h)$    |    $f(x+5h)$    |\n",
+    "|$2hf^1(x)$      |       -3       |       4        |       -1      |                 |                |                 |\n",
+    "|$h^2f^2(x)$     |        2       |      -5        |        4      |       -1        |                |                 |\n",
+    "|$2h^3f^3(x)$    |       -5       |      18        |      -24      |       14        |        -3      |                 |\n",
+    "|$h^4f^4(x)$     |        3       |     -14        |       26      |      -24        |        11      |        -2       |\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "\n",
+    "# ตารางค่าสัมประสิทธิของ Backward Finite Difference Approximation (FDA) $O(h^2$\n",
+    "\n",
+    "|  สมการด้านซ้ายมือ |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ | ค่าสัมประสิทธิ์ของ |   ค่าสัมประสิทธิ์ของ |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ |  ค่าสัมประสิทธิ์ของ  |\n",
+    "|----------------|----------------|----------------|---------------|-----------------|----------------|-----------------|\n",
+    "|                |    $f(x-5h)$   |   $f(x-4h)$    |    $f(x-3h)$  |     $f(x-2h)$   |   $f(x-h)$     |    $f(x)$       |\n",
+    "|$2hf^1(x)$      |                |                |               |        1        |        -4      |         3       |\n",
+    "|$h^2f^2(x)$     |                |                |       -1      |        4        |        -5      |         2       |\n",
+    "|$2h^3f^3(x)$    |                |       3        |      -14      |       24        |        18      |         5       |\n",
+    "|$h^4f^4(x)$     |       -2       |      11        |      -24      |       26        |       -14      |         3       |\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "# Richardson Extrapolation\n",
+    "\n",
+    "พิจารณา \n",
+    "$$\n",
+    "(2) \\to f^2(x) = \\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} + O(h^2)\n",
+    "$$\n",
+    "ของฟังก์ชัน\n",
+    "$f(x) = e^{-x}$ ที่ $x=1$ \n",
+    "\n",
+    "เมื่อเปรียบเทียบกับค่าจริง(6 หลัก) $f^2(1) = e^{-1} = 0.3678794$\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "| $h$     | second CDA | ค่าจริง    | $O(h^2)$  |\n",
+    "|---------|------------|----------|-----------|\n",
+    "| 0.64    | 0.380610   | 0.367879 |  0.012731 |\n",
+    "| 0.32    | 0.371035   | 0.367879 |  0.003156 |\n",
+    "| 0.16    | 0.368711   | 0.367879 |  0.000832 |\n",
+    "| 0.08    | 0.368281   | 0.367879 |  0.000402 |\n",
+    "| 0.04    | 0.36875    | 0.367879 |  0.000871 |\n",
+    "| 0.02    | 0.37       | 0.367879 |  0.002121 |\n",
+    "| 0.01    | 0.38       | 0.367879 |  0.012121 |\n",
+    "| 0.005   | 0.40       | 0.367879 |  0.032121 |\n",
+    "| 0.0025  | 0.48       | 0.367879 |  0.112121 |\n",
+    "| 0.00125 | 1.28       | 0.367879 |  0.912121 |\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 5,
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "e**-1 = 0.36787944117144233\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "import numpy as np\n",
+    "import math as ma\n",
+    "print('e**-1 =',np.e**-1)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "เทคนิค Richardson Extrapolation ช่วยลดค่าความผิดพลาดได้ โดยมีเงื่อนไขคือ\n",
+    "$$\n",
+    "G = g(h) + E(h)\n",
+    "$$\n",
+    "และ $E(h) = ch^p$ เมื่อ $c,p$ เป็นค่าคงที่\n",
+    "\n",
+    "แทนค่าในสมการที่ $h_1, h_2$ \n",
+    "$$\n",
+    "G = g(h_1) + ch_{1}^p \\to (1) \\\\\n",
+    "G = g(h_2) + ch_{2}^p \\to (2)\n",
+    "$$\n",
+    "แล้วกำจัด $c$ จะได้\n",
+    "$$\n",
+    "G = \\frac{(h_1/h_2)^p g(h_2) - g(h_1)}{(h_1/h_2)^p -1}\n",
+    "$$\n",
+    "ซึ่งโดยปกติแล้วจะใช้ $h_2 = \\frac{h_1}{2}$ \n",
+    "จะทำให้\n",
+    "$$\n",
+    "G = \\frac{2^p g(h_1/2) - g(h_1)}{2^p - 1}\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "## ตัวอย่าง\n",
+    "จากตาราง \n",
+    "$g(0.64) = 0.380610$ \n",
+    "$g(0.32) = 0.371035$\n",
+    "จะได้ $h_1 = 0.64, p=2$ \n",
+    "$$\n",
+    "G = \\frac{2^p g(h_1/2) - g(h_1)}{2^p - 1} \\\\\n",
+    "G = \\frac{2^2 g(0.64/2) - g(0.64)}{2^2 - 1} \\\\\n",
+    "G = \\frac{2^2 g(0.32) - g(0.64)}{2^2 - 1} \\\\\n",
+    "G = 0.367843\n",
+    "$$\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 19,
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "data": {
+      "text/plain": [
+       "0.38898750000000004"
+      ]
+     },
+     "execution_count": 19,
+     "metadata": {},
+     "output_type": "execute_result"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "g= 2**2*0.371035-0.380610/2**2-1\n",
+    "g"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 25,
+   "metadata": {
+    "collapsed": true
+   },
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "def Extrapolation(g1,g2):\n",
+    "    return ((2**2)*g2-g1)/2**2-1"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 26,
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "data": {
+      "text/plain": [
+       "-0.7241175"
+      ]
+     },
+     "execution_count": 26,
+     "metadata": {},
+     "output_type": "execute_result"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "Extrapolation(0.380610,0.371035)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 27,
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "data": {
+      "text/plain": [
+       "0.36784333333333336"
+      ]
+     },
+     "execution_count": 27,
+     "metadata": {},
+     "output_type": "execute_result"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "def G(h):\n",
+    "    cda={\n",
+    "        0.64:0.380610 ,\n",
+    "        0.32:0.371035 ,\n",
+    "        0.16:0.368711 ,\n",
+    "        0.08:0.368281 ,\n",
+    "        0.04:0.36875 ,\n",
+    "    }\n",
+    "    return cda[h]\n",
+    "def RichExtra(h,p):\n",
+    "    return ((2**p)*G(h/2)-G(h))/(2**p -1)\n",
+    "RichExtra(0.64,2)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "metadata": {
+    "collapsed": true
+   },
+   "outputs": [],
+   "source": []
+  }
+ ],
+ "metadata": {
+  "kernelspec": {
+   "display_name": "Python 3",
+   "language": "python",
+   "name": "python3"
+  },
+  "language_info": {
+   "codemirror_mode": {
+    "name": "ipython",
+    "version": 3
+   },
+   "file_extension": ".py",
+   "mimetype": "text/x-python",
+   "name": "python",
+   "nbconvert_exporter": "python",
+   "pygments_lexer": "ipython3",
+   "version": "3.6.1"
+  }
+ },
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 1
+}